В конце прошлого урока мы заметили, что рациональные числа расположены на числовой прямой невероятно плотно: между любыми двумя всегда найдётся ещё одно. Кажется, что прямая заполнена целиком. Но около 500 года до нашей эры один из учеников Пифагора обнаружил, что это не так, — и это открытие стало одним из самых драматичных эпизодов в истории математики.

Пифагорейцы верили, что всё в мире можно выразить через отношения целых чисел. Музыкальные интервалы — отношение длин струн. Движение планет — отношение расстояний. Гармония Вселенной — числовая, и числа — только рациональные. Эта вера была не просто научной гипотезой, а чем-то вроде религиозной доктрины: «Всё есть число», и число — это дробь.

А потом кто-то задал простой вопрос: чему равна диагональ квадрата со стороной 1? По теореме Пифагора (которую, по иронии, открыли сами пифагорейцы) диагональ квадрата со стороной 1 равна √(1² + 1²) = √2. Остаётся выяснить, какая дробь равна √2. Пифагорейцы начали искать — и не нашли. Не потому что плохо искали, а потому что такой дроби не существует.

Доказательство этого факта — одно из самых красивых в математике, и ему две с половиной тысячи лет. Идея состоит в том, чтобы предположить, что √2 всё-таки рациональное число, и показать, что это приводит к противоречию.

Допустим, √2 = p/q, где дробь несократимая (то есть p и q не имеют общих делителей). Возведём обе части в квадрат: 2 = p²/q², значит p² = 2q². Раз p² чётное, то и p чётное (квадрат нечётного числа всегда нечётен). Пусть p = 2k, тогда (2k)² = 2q², то есть 4k² = 2q², откуда q² = 2k². Значит, q² тоже чётное, а значит, и q чётное. Но если и p, и q чётные, дробь p/q сократима — а мы начинали с несократимой. Противоречие. Значит, наше предположение ложно, и √2 нельзя представить в виде дроби.

Согласно легенде, пифагореец Гиппас, открывший иррациональность √2, был изгнан из братства (а по некоторым версиям — утоплен в море), потому что его открытие подрывало основы учения. Историки спорят, правда ли это, но сам факт, что такая легенда возникла, говорит о том, насколько шокирующим было это открытие. Существует число, которое точно определено (это диагональ конкретного квадрата, её можно начертить и измерить), но записать его дробью невозможно. Мир оказался устроен сложнее, чем думали пифагорейцы. √2 ≈ 1,41421356... Десятичные знаки тянутся бесконечно, и в них нет никакого повторяющегося блока — в отличие от рациональных дробей вроде 1/7 = 0,142857142857..., где шестёрка цифр повторяется снова и снова. Именно отсутствие периода — отличительный признак иррационального числа в десятичной записи.

Иррациональных чисел гораздо больше, чем может показаться на первый взгляд. Корни из большинства натуральных чисел — иррациональные: √3, √5, √6, √7, √8, √10... Рациональный результат получается только тогда, когда под корнем стоит полный квадрат: √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4.

Но корни — далеко не единственный источник иррациональных чисел. Есть числа, которые возникают из совершенно других задач и оказываются иррациональными. Два из них настолько важны, что заслуживают отдельного упоминания.

Число π ≈ 3,14159... — отношение длины окружности к её диаметру. Люди пытались вычислить его тысячи лет. Вавилоняне использовали приближение 3 + 1/8 = 3,125. Архимед в III веке до нашей эры, вписывая и описывая правильные многоугольники вокруг окружности, установил, что π лежит между 3 10/71 и 3 1/7 (то есть между 3,1408... и 3,1428...). Индийский математик Мадхава в XIV веке получил уже 11 верных знаков. Но только в 1761 году Иоганн Ламберт доказал, что π — иррациональное: никакая дробь не равна ему точно.

Число e ≈ 2,71828... — основание натурального логарифма — появилось из задачи о непрерывном начислении процентов. Если положить 1 рубль под 100% годовых и начислять проценты бесконечно часто, через год на счёте окажется ровно e рублей. Леонард Эйлер в XVIII веке доказал, что e иррационально.

Итак, на числовой прямой живут два семейства чисел: рациональные (которые можно записать дробью) и иррациональные (которые нельзя). Вместе они заполняют прямую целиком, без единого пробела. Это объединённое множество называется вещественными числами.

Вся цепочка расширений теперь выглядит так: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Натуральные числа — внутри целых, целые — внутри рациональных, рациональные — внутри вещественных. Каждый шаг решал конкретную проблему: вычитание, деление, извлечение корня. И на каждом шаге старые числа оставались на месте — новые добавлялись к ним, а не заменяли их.

Интересно, что рациональных чисел на прямой «счётно бесконечно много» (их можно пронумеровать: первое, второе, третье...), а иррациональных — «несчётно», их принципиально больше. Это доказал Георг Кантор в 1873 году методом, который сейчас называют «диагональным аргументом». Получается парадоксальная ситуация: рациональные числа расположены на прямой бесконечно плотно (между любыми двумя есть ещё одно), но при этом занимают, в некотором смысле, «почти нулевую» долю всех точек. Почти каждая точка числовой прямой — иррациональная.

Для школьной алгебры, впрочем, достаточно помнить главное: вещественные числа — это все числа, которым есть место на числовой прямой. С ними можно складывать, вычитать, умножать, делить (кроме деления на ноль) и извлекать корни из неотрицательных чисел. Этого набора хватит для всего курса.