В прошлом уроке мы расширили натуральные числа до целых, чтобы вычитание всегда имело ответ. Но если попробовать разделить 5 на 3, целых чисел снова не хватит: результат — не 1 и не 2, а что-то между ними. Деление двух целых чисел не всегда даёт целое — и это следующая проблема, ради которой человечеству пришлось изобретать новый вид чисел.

Задача, впрочем, возникла задолго до того, как люди сформулировали её на языке математики. Она была совершенно практической: как разделить поровну то, что не делится на целые части? Одна из древнейших цивилизаций, столкнувшихся с этим вопросом, — Египет. Каждый год Нил разливался, смывая границы земельных участков, и после отступления воды землемерам приходилось заново делить поля между крестьянами. Поле не всегда удавалось разрезать на целое число одинаковых полос — и в этот момент понадобились дроби.

Египетская система дробей, записанная в знаменитом папирусе Ринда (около 1650 года до нашей эры, хотя скопирован он с ещё более раннего источника), была своеобразной: египтяне использовали почти исключительно так называемые аликвотные дроби — дроби с числителем 1. Вместо того чтобы написать 2/5, они записывали 1/3 + 1/15. Для нас это выглядит неуклюже, но у них была на то причина: дроби с единичным числителем проще делить на практике. Если нужно раздать 3 хлеба на 5 человек, египтянин рассуждал так: каждый получает 1/2 хлеба (это 5/2 = 2,5 хлеба) плюс ещё 1/10 хлеба (это ещё 0,5 хлеба) — итого 3 хлеба. Громоздко, но работает.

Вавилоняне пошли другим путём. Их шестидесятеричная система (та самая, от которой мы унаследовали 60 минут в часе) позволяла записывать дроби как «шестидесятеричные десятичные»: например, 1/3 в их записи — это ровно 20/60, то есть «ноль целых, двадцать шестидесятых». Поскольку 60 делится на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30, огромное количество дробей в их системе были конечными — гораздо больше, чем в нашей десятичной.

Современную запись дробей — числитель над знаменателем с чертой между ними — ввели индийские математики, а в Европу её принёс итальянский купец и математик Леонардо Фибоначчи в «Книге абака» (1202 год). Само слово «дробь» (по-латыни fractio — «разломанное») отражает первоначальный смысл: это «разломанное» целое, часть чего-то. Дробь записывается как отношение двух целых чисел: числитель и знаменатель. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Три восьмых пиццы — это 3/8: разрезали на 8, взяли 3.

Буква ℚ происходит от итальянского quoziente — «частное», результат деления. Важный момент: каждое целое число — тоже рациональное, потому что его можно записать как дробь со знаменателем 1. Число 5 — это 5/1, число −3 — это −3/1. Поэтому ℤ ⊂ ℚ, а значит, и ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Множества вложены друг в друга, как матрёшки: каждое следующее включает все предыдущие и добавляет новые числа.

Одно и то же рациональное число можно записать бесконечным количеством способов: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100. Все эти дроби равны, потому что обозначают одну и ту же точку на числовой прямой — ровно посередине между 0 и 1. Дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей (кроме единицы), называют несократимой: 1/2 — несократимая, 2/4 — нет, потому что оба делятся на 2.

Дроби можно записывать двумя способами: как обыкновенные (1/4, 7/3) и как десятичные (0,25 и 2,333...). Это не два разных вида чисел — это два способа записать одно и то же, как кириллица и латиница для одного слова.

Десятичные дроби, к которым мы так привыкли, — сравнительно молодое изобретение. Их систематически описал фламандский математик Симон Стевин в трактате «Десятая» (1585 год). До него европейские купцы и учёные мучились с обыкновенными дробями, а у Стевина возникла простая идея: записывать доли десятых, сотых, тысячных так же, как мы записываем десятки, сотни и тысячи — позиционно, продолжая тот же принцип вправо от целой части. Он убеждал читателей, что с десятичными дробями «можно выполнять все вычисления с целыми числами без ошибок, как если бы дробей не существовало». Точка (или запятая) как разделитель появилась позже — у Стевина обозначения были ещё неуклюжими, но идея прижилась.

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно выполнить деление числителя на знаменатель. Разделим 3 на 8: 3 ÷ 8 = 0,375. Деление закончилось — десятичная дробь конечная. А вот 1 ÷ 3 = 0,333... — деление никогда не заканчивается, в остатке каждый раз получается 1, и тройка в частном повторяется бесконечно.

Конечная десятичная дробь получается тогда, когда знаменатель (после сокращения) содержит только множители 2 и 5 — те же простые числа, что составляют основание десятичной системы (10 = 2 · 5). Дробь 3/8 = 3/(2³) — знаменатель содержит только двойки, поэтому дробь конечная. Дробь 1/3 — тройка не раскладывается на двойки и пятёрки, поэтому дробь бесконечная. Именно здесь видна связь с вавилонянами: в их шестидесятеричной системе дробь 1/3 была конечной (20/60), потому что 60 делится на 3. Выбери мы систему счисления с основанием 12 или 60 — наша арифметика дробей выглядела бы иначе.

Если десятичная дробь бесконечная, она всегда периодическая — в ней рано или поздно начинается повторяющийся блок цифр. Для 1/3 период — одна цифра 3. Для 1/7 = 0,142857142857... период — шесть цифр: 142857. Периодичность — не совпадение, а следствие того, что при делении возможных остатков конечное число (от 0 до q − 1), и когда остаток повторится, цифры частного начнут повторяться тоже. Теперь разберёмся с вопросом, который многих смущает: 0,333... — это ровно 1/3 или «почти» 1/3? Ответ: ровно. Это не приближение, не округление и не «стремление к чему-то». Запись 0,333... с бесконечным числом троек — это другой способ записать число 1/3, точно так же как 0,5 — это другой способ записать 1/2.

Убедиться в этом можно простым рассуждением. Пусть x = 0,333... Умножим обе части на 10: 10x = 3,333... Вычтем первое из второго: 10x − x = 3,333... − 0,333..., то есть 9x = 3, откуда x = 3/9 = 1/3. Никакого «приближения» — строгое равенство.

Этот же приём работает для любой периодической дроби. Возьмём 0,272727... Пусть x = 0,272727... Период состоит из двух цифр, поэтому умножим на 100: 100x = 27,2727... Вычтем: 99x = 27, значит x = 27/99 = 3/11. Любую периодическую дробь можно превратить в обыкновенную, а значит, она — рациональное число.

Из этого следует важный вывод: 0,999... = 1. Пусть x = 0,999..., тогда 10x = 9,999..., вычитаем: 9x = 9, x = 1. Два разных способа записать одно и то же число — подобно тому, как 1/2 и 2/4 тоже выглядят по-разному, но обозначают одну точку на числовой прямой.

Рациональные числа замечательны тем, что с ними можно выполнять все четыре арифметические операции (кроме деления на ноль), и результат всегда останется рациональным. Сложение: a/b + c/d = (ad + bc)/(bd). Умножение: a/b · c/d = ac/(bd). Деление: a/b ÷ c/d = a/b · d/c — делить на дробь значит умножать на перевёрнутую.

На числовой прямой рациональные числа расположены невероятно плотно: между любыми двумя рациональными числами всегда найдётся ещё одно (достаточно взять их среднее арифметическое). Между 0 и 1 лежит 1/2, между 0 и 1/2 лежит 1/4, между 0 и 1/4 лежит 1/8 — и так без конца. Может показаться, что рациональные числа заполняют всю прямую без пробелов. Но это не так — и в следующем уроке мы обнаружим на прямой точки, которые не занимает ни одно рациональное число. Открытие, которое две с половиной тысячи лет назад повергло пифагорейцев в шок.