Вы сидите в поезде и смотрите в окно. Стакан с чаем стоит на столике — неподвижен. За окном мелькают деревья — они летят назад. Кто из них движется? Стакан? Деревья? Вы сами?

Правильный ответ: зависит от того, относительно чего смотреть. Относительно вас — стакан стоит, деревья несутся. Относительно человека на платформе — деревья стоят, а вы со стаканом несётесь мимо него со скоростью 120 км/ч. Оба наблюдателя правы. Никакого противоречия нет.

Физика не разводит руками и не говорит «всё относительно». Она говорит строже: укажи систему отсчёта — и тогда можно разговаривать. Без этого уточнения вопрос «тело движется?» так же осмысленен, как вопрос «это число большое?» без указания, с чем сравнивать.

Три части. Тело отсчёта — то, что мы объявляем «стоящим на месте»: это выбор, а не истина. Система координат — математическая сетка, которая даёт каждой точке числовой адрес. Часы — без них нельзя описать движение; мало знать «где», нужно знать «когда».

Итак, систему отсчёта выбрали. Теперь встаёт конкретный вопрос: как точно сказать, где находится тело?

«Посередине вагона» — неточно. «Рядом с третьим окном» — лучше, но всё ещё расплывчато. Физике нужно настолько точно, чтобы любой другой наблюдатель мог восстановить положение тела по одному описанию.

Вы наверняка пользовались картами или GPS. Чтобы указать точку на поверхности Земли, достаточно двух чисел — широты и долготы. Москва: 55.75° с.ш., 37.62° в.д. Этот адрес однозначен на всей планете. Почему двух? Потому что поверхность — двумерна.

Но если нужно найти самолёт в воздухе или шар в комнате, двух чисел мало — нужна ещё высота. Итого три числа: вперёд-назад, влево-вправо, вверх-вниз. Именно столько нужно, чтобы однозначно описать положение в трёхмерном пространстве.

В физике эти три числа называют координатами и обозначают x, y, z. Но сначала нужно договориться, откуда считать — выбрать начало координат, точку с адресом (0, 0, 0), и направления осей. Это и есть та самая «система координат» из определения системы отсчёта.

У нас есть начало координат O — точка, от которой мы всё считаем. Тело стоит где-то в пространстве. Самый прямой способ сказать «где» — провести стрелку прямо из O до тела. Эта стрелка сразу говорит две вещи: в каком направлении находится тело и на каком расстоянии. Куда тело — туда и стрелка.

Этот объект встречается в механике постоянно — ему дали своё название.

Записать его через координаты просто: это те три числа x, y, z, собранные в одну запись:

r = x·i + y·j + z·k

Здесь i, j, k — единичные стрелки длиной 1 вдоль каждой оси. Длина радиус-вектора — расстояние от O до тела:

|r| = √(x² + y² + z²)

Теперь важный момент: где поставить начало координат — решаем мы. Это не физический закон, а наш выбор.

Вернёмся к мячу на столике в вагоне. Вариант первый: начало координат — точка на полу вагона. Тогда мяч на высоте 80 см — радиус-вектор маленький, около 0.8 м. Поезд едет час — мяч почти не сдвинулся.

Вариант второй: начало координат — то самое дерево за окном. В момент отправления мяч был в 15 метрах от него. Через час поезд проехал 120 км — теперь мяч в 120 000 метрах от дерева. Один и тот же мяч. Одно и то же событие. Совершенно разные числа.

Тело переместилось из точки A в точку B. Хочется спросить: насколько далеко оно прошло? Но это вопрос с ловушкой — «далеко» это по прямой или по той дороге, которую тело реально проехало?

Δr = (x₂−x₁)·i + (y₂−y₁)·j + (z₂−z₁)·k

Разность двух радиус-векторов не зависит от выбора начала координат — куда бы вы ни перенесли начало, Δr останется тем же. А вот путь s — это другое: длина реальной траектории, которую тело прошло.

Поезд едет из A в B по изогнутому маршруту. Смотрите на анимацию — путь, перемещение и откуда берётся Δr всё здесь:

Представьте марафонца. За 42 км он финишировал ровно там, где стартовал — классическая петля. Путь — 42 195 метров. Перемещение — ноль: начальная и конечная точки совпали, значит r₁ = r₂ и Δr = 0. Это не парадокс — просто разные вопросы с разными ответами. И последнее слово на сегодня — траектория. Это просто линия, которую тело чертит в пространстве во время движения. Не число, не вектор — а сама форма пути.

Поезд из нашего примера оставил бы на карте дугу — это и есть траектория. Пешеход идёт прямо — прямая. Планета летит вокруг Солнца — эллипс. Мяч, брошенный под углом — парабола.

Траектория, путь и перемещение — три разных взгляда на одно движение:

• Траектория — какую форму нарисовало тело (кривая, прямая, эллипс…)
• Путь — сколько прошло по этой кривой (число в метрах)
• Перемещение — на сколько сдвинулось из начала в конец (стрелка)

Как именно считать траектории — разберём позже, когда дойдём до уравнений движения. Пока просто держите в голове: это слово есть, и оно означает след тела в пространстве.