Поезд вернулся из рейса. Выехал из A в полдень — прибыл обратно в A в три часа. Три часа в пути, кольцо 270 км. Вопрос: какова средняя скорость поезда?

Если ответили «90 км/ч» — попались. Правильный ответ: ноль.

Но как? Поезд куда-то явно ехал всё это время. Спидометр показывал ненулевые числа. И вдруг — ноль? Именно тут и обнаруживается, что «скорость» — не одно понятие, а два. Разберёмся по порядку. Из прошлого урока: поезд сделал перемещение Δr = r₂ − r₁ — вектор из начальной точки в конечную. Это мы уже знаем.

Теперь добавим время. Поезд выехал ровно в полдень — это момент t₁ = 12:00. Прибыл в 13:20 — это момент t₂ = 13:20. Промежуток между ними:

Δt = t₂ − t₁ = 13:20 − 12:00 = 1 ч 20 мин = 4800 с

Вот и всё. Мы вычли одно время из другого — получили интервал. Его и называют Δt. Δ (дельта) — просто математический значок для слова «изменение» или «разность». Δt — насколько изменилось время. Δr — насколько изменился радиус-вектор. Один принцип.

Есть Δr, есть Δt. Сопоставим одно с другим — получим новую характеристику движения.

Для кольцевого маршрута: поезд вернулся туда, откуда выехал — начальная и конечная точки совпали. Δr = r₂ − r₁ = 0. Делим ноль на три часа — получаем ноль. Не ошибка — математическая точность.

Но диспетчер всё равно запишет в журнал «90 км/ч». Он имеет в виду другое — делит не перемещение, а путь:

Именно её имеют в виду в разговоре: «ехали со средней 90». Путевая скорость не обнулится, если тело хоть куда-то двигалось. Векторная — запросто, при замкнутом маршруте.

Теперь про спидометр. Он показывает не «среднюю за рейс» — он показывает скорость прямо сейчас, в конкретную секунду. Как описать её строго?

Вот идея. Возьмём маленький промежуток времени вокруг нужного момента — допустим, секунду. За эту секунду поезд прошёл крошечный прямолинейный кусочек и почти не менял направление. Посчитаем среднюю скорость Δr/Δt на этом кусочке.

Теперь сожмём до миллисекунды. Ещё точнее. До микросекунды. В пределе — когда промежуток стянулся в одну точку времени — получим скорость именно в этот момент.

Посмотрите, что происходит со стрелкой средней скорости по мере уменьшения Δt:

Стрелка разворачивается — и в пределе ложится по касательной к траектории. Это не совпадение: именно так и определяется касательная к кривой.

Раскрутите камень на верёвке и в нужный момент отпустите — он полетит точно по касательной к окружности, не по радиусу. Верёвка держала его на кривой. Как только её нет — тело летит туда, куда «смотрела» скорость.

И вот как это выглядит в движении — поезд едет из A в B, зелёная стрелка всё время показывает его мгновенную скорость:

Три понятия — три разных вопроса:

• Средняя скорость Δr/Δt — вектор за промежуток. Куда и насколько быстро сдвинулось. Может быть нулём при замкнутом маршруте.
• Средняя путевая скорость s/Δt — скаляр. Насколько быстро шло по дороге. Ноль только если тело стояло.
• Мгновенная скорость — вектор по касательной. Скорость прямо сейчас. То, что показывает спидометр.