Мы начали курс с векторов — стрелок на плоскости. Потом появились матрицы — таблицы чисел. Мы научились их умножать, находить определитель, обращать, считать собственные значения. Но за всеми этими вычислениями стоит одна идея: матрица — это преобразование пространства.

Этот урок — про то, как это выглядит. Хитрость, которая упрощает всё: чтобы понять, что делает матрица 2×2, достаточно посмотреть, куда она отправляет два вектора — (1, 0) и (0, 1).

A = [[a, b],
     [c, d]]

A · (1, 0) = (a, c)  — первый столбец A
A · (0, 1) = (b, d)  — второй столбец A

Столбцы матрицы — это образы базисных векторов. Первый столбец — куда отправился (1, 0). Второй — куда отправился (0, 1). Зная это, вы знаете всё: любой другой вектор — комбинация базисных, и преобразование линейно.

Посмотрим, как выглядят классические преобразования. Масштабирование.** Растянуть по x в 2 раза, по y — в 3:

S = [[2, 0],
     [0, 3]]

(1, 0) → (2, 0)  — растянули по x
(0, 1) → (0, 3)  — растянули по y

Диагональная матрица — масштабирование вдоль осей. Определитель = 2·3 = 6 — площадь увеличилась в 6 раз. Собственные значения: 2 и 3 — оси не поворачиваются, только растягиваются.

Поворот на угол θ.

R(θ) = [[cos θ, −sin θ],
        [sin θ,  cos θ]]

При θ = 90°: cos 90° = 0, sin 90° = 1:

R(90°) = [[0, −1],
          [1,  0]]

(1, 0) → (0, 1)   — повернулся на 90°
(0, 1) → (−1, 0)  — тоже на 90°

Определитель = cos²θ + sin²θ = 1 — площадь не меняется (поворот ничего не растягивает). Собственные значения — комплексные: поворот не оставляет ни одно направление неподвижным.

Отражение относительно оси x:

F = [[1,  0],
     [0, −1]]

(1, 0) → (1, 0)   — не изменился
(0, 1) → (0, −1)  — перевернулся

Определитель = −1 — площадь сохранилась, но ориентация поменялась (зеркало). Собственные значения: 1 (горизонтальные векторы неподвижны) и −1 (вертикальные переворачиваются).

Сдвиг (shear) — наклоняет фигуру, не меняя площади:

H = [[1, k],
     [0, 1]]

(1, 0) → (1, 0)   — не изменился
(0, 1) → (k, 1)   — сдвинулся вправо на k

Определитель = 1 — площадь не меняется. Квадрат превращается в параллелограмм. Собственное значение λ = 1 (кратное) — оба базисных направления формально «неподвижны» по значению, но сдвиг всё равно деформирует фигуру.

Вот как всё, что мы изучили, связывается в одну картину:

Матрица A — это преобразование пространства.

Столбцы A → куда отправляются базисные векторы.
det(A) → во сколько раз меняется площадь (знак = ориентация).
det(A) = 0 → пространство «схлопывается», информация теряется.
A⁻¹ → обратное преобразование (существует, если det ≠ 0).
rank(A) → сколько измерений «выживает» после преобразования.
Собственные значения → вдоль каких направлений действует масштабирование.
Собственные векторы → неподвижные направления.
A·B → два преобразования подряд.

Одна матрица 2×2 — четыре числа — и за ними стоит полноценное геометрическое преобразование плоскости. Вся линейная алгебра — это изучение таких преобразований на разных языках: через формулы, через геометрию, через системы уравнений. Линейная алгебра не заканчивается на этом курсе. Дальше — ортогональные и унитарные матрицы, сингулярное разложение (SVD), жорданова форма, тензоры. Но фундамент уже есть: вектор, матрица, определитель, ранг, собственные значения. Всё остальное — развитие этих идей.

И если в какой-то момент формулы станут сложными — вернитесь к геометрии. Нарисуйте стрелки, нарисуйте квадрат и посмотрите, во что он превращается. Линейная алгебра — это в первую очередь про пространство, а потом уже про числа.

Столбцы матрицы — образы базисных векторов. По ним читается геометрический смысл.

Масштабирование — диагональная матрица. Поворот — [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]]. Отражение — det = −1. Сдвиг — det = 1, фигура деформируется.

Связь понятий: det → площадь, rank → выжившие измерения, собственные значения → неподвижные направления, A⁻¹ → обратное преобразование.