В прошлом уроке мы решали A·x = b через обратную матрицу: x = A⁻¹·b. Это элегантно, но работает только когда A квадратная и det(A) ≠ 0. А если уравнений больше, чем неизвестных? Или меньше? Или определитель ноль?

Нужен метод, который справится с любой ситуацией. Он называется метод Гаусса — и ему больше 200 лет. Начнём с простой системы двух уравнений:

2x + y = 5
 x − y = 1

Идея Гаусса: превратить систему в такую, где ответ видно сразу. Делаем это поэтапными преобразованиями — вычитаем одно уравнение из другого, чтобы убрать неизвестные.

Запишем систему как матрицу — расширенную матрицу, где правая часть приписана через вертикальную черту:

[[2,  1 | 5],
 [1, −1 | 1]]

Теперь работаем только с числами, не с буквами. Цель — получить нули под главной диагональю.

Шаг 1: поменяем строки местами, чтобы слева вверху была единица (так удобнее):

[[1, −1 | 1],
 [2,  1 | 5]]

Шаг 2: из второй строки вычтем первую, умноженную на 2 (чтобы убить двойку в левом нижнем углу):

строка₂ − 2·строка₁:  (2−2, 1−(−2), 5−2) = (0, 3, 3)

[[1, −1 | 1],
 [0,  3 | 3]]

Готово. Под диагональю — ноль. Нижняя строка говорит: 3y = 3, значит y = 1. Подставляем в первую: x − 1 = 1, значит x = 2.

Теперь система 3×3 — из задачи про магазин. Обозначим: x — хлеб, y — молоко, z — сыр.

2x +  y +  z = 500
 x + 3y + 2z = 900
 x +  y + 3z = 1100

Расширенная матрица:

[[2, 1, 1 |  500],
 [1, 3, 2 |  900],
 [1, 1, 3 | 1100]]

Шаг 1: поменяем строку 1 и строку 2 (чтобы единица была вверху):

[[1, 3, 2 |  900],
 [2, 1, 1 |  500],
 [1, 1, 3 | 1100]]

Шаг 2: строка₂ − 2·строка₁, строка₃ − строка₁:

[[1,  3,  2 |  900],
 [0, −5, −3 | −1300],
 [0, −2,  1 |  200]]

Шаг 3: строка₃ − (2/5)·строка₂:

строка₃: (0−0, −2−(−2), 1−(−6/5), 200−(−520))
        = (0, 0, 1+1.2, 200+520) = (0, 0, 2.2, 720)

Умножим на 5 для аккуратности — пересчитаем точнее:
строка₃ · 5 = (0, −10, 5, 1000)
строка₂ · 2 = (0, −10, −6, −2600)
строка₃·5 − строка₂·2 = (0, 0, 11, 3600)

[[1,  3,  2  |   900],
 [0, −5, −3  | −1300],
 [0,  0,  11 |  3600]]

Ступенчатый вид. Читаем снизу вверх:

11z = 3600  →  z ≈ 327.3

Хм, дробное число для цены — некрасиво. Давайте возьмём более ровные числа. Изменим задачу: пусть третий покупатель заплатил 1000 ₽ вместо 1100 ₽:

[[1,  3,  2 |  900],
 [0, −5, −3 | −1300],
 [0, −2,  1 |  100]]

Строка₃·5 − строка₂·2:

(0, −10, 5, 500) − (0, −10, −6, −2600) = (0, 0, 11, 3100)

Нет, тоже некрасиво.

Ладно — сила метода Гаусса не в красивых числах, а в том, что он работает всегда. Вернёмся к оригинальной задаче и решим до конца:

11z = 3600  →  z = 3600/11

−5y − 3·(3600/11) = −1300
−5y = −1300 + 10800/11 = (−14300 + 10800)/11 = −3500/11
y = 700/11

x + 3·(700/11) + 2·(3600/11) = 900
x = 900 − 2100/11 − 7200/11 = (9900 − 9300)/11 = 600/11

Не целые числа — но это нормально. Метод Гаусса нашёл точное решение для любых входных данных. В реальных задачах числа почти никогда не бывают красивыми.

Метод Гаусса хорош ещё и тем, что сразу показывает, когда система не имеет решения. Вот пример:

 x + y = 3
2x + 2y = 8

Расширенная матрица:

[[1, 1 | 3],
 [2, 2 | 8]]

Строка₂ − 2·строка₁:

[[1, 1 | 3],
 [0, 0 | 2]]

Нижняя строка говорит: 0·x + 0·y = 2. Ноль равен двум? Абсурд. Система несовместна — решений нет. Геометрически это две параллельные прямые: x + y = 3 и x + y = 4. Они не пересекаются.

А если правая часть тоже обнулилась?

 x + y = 3
2x + 2y = 6    →    строка₂ − 2·строка₁:

[[1, 1 | 3],
 [0, 0 | 0]]

Нижняя строка: 0 = 0. Не абсурд, но и не информация. Одно уравнение, два неизвестных — бесконечно много решений. Любая пара (x, 3−x) подходит: (0, 3), (1, 2), (−5, 8)... Итого метод Гаусса после приведения к ступенчатому виду даёт один из трёх результатов:

1. Ступеньки в каждом столбце → единственное решение
2. Строка вида (0 0 ... 0 | число≠0) → решений нет
3. Нулевые строки, свободные переменные → бесконечно много решений

Расширенная матрица — матрица системы с приписанным столбцом правых частей.

Метод Гаусса: элементарными операциями со строками привести к ступенчатому виду, затем обратный ход.

Три исхода: единственное решение (полная ступенька), нет решений (строка 0=число), бесконечно много (свободные переменные).