Книга лежит на столе. Кажется, что с ней ничего не происходит — ни сил, ни драмы. Но это иллюзия. Земля тянет книгу вниз с силой около 5 Н. Стол давит на книгу вверх с точно такой же силой. Два невидимых бойца тянут в разные стороны — и ровно поэтому книга неподвижна.
Статика изучает именно это: почему тела не движутся. И ответ никогда не «потому что сил нет». Ответ всегда — «потому что силы компенсируются». Из динамики мы знаем: F = ma. Если тело в покое (или движется равномерно и прямолинейно), то a = 0, а значит:
В проекциях на оси:
ΣFₓ = 0
ΣFᵧ = 0
Два уравнения — значит, можно найти две неизвестные. Если задача плоская (все силы в одной плоскости), этого часто хватает.
Но вот вопрос: достаточно ли этого условия для равновесия? Представьте руль автомобиля. Вы прикладываете одной рукой силу вверх, другой — вниз. Равнодействующая — ноль. Но руль поворачивается! Значит, ΣF = 0 — это необходимое, но не достаточное условие. Второе условие — про моменты сил — будет в следующем уроке. Разберём классическую задачу. Фонарь массой 5 кг подвешен на двух тросах. Левый трос составляет угол 40° с горизонтом, правый — 60°. Найдите натяжение каждого троса.
Шаг 1: FBD. На фонарь действуют три силы: mg вниз, T₁ вдоль левого троса, T₂ вдоль правого троса.
Шаг 2: оси. x — горизонтально вправо, y — вертикально вверх.
Шаг 3: проекции.
ΣFₓ = −T₁·cos(40°) + T₂·cos(60°) = 0
ΣFᵧ = T₁·sin(40°) + T₂·sin(60°) − mg = 0
Из первого уравнения:
T₂ = T₁ · cos(40°) / cos(60°) = T₁ · 0,766 / 0,5 = 1,532 · T₁
Подставляем во второе:
T₁ · 0,643 + 1,532·T₁ · 0,866 = 5 · 9,8
T₁ · (0,643 + 1,327) = 49
T₁ · 1,970 = 49
T₁ ≈ 24,9 Н
T₂ = 1,532 · 24,9 ≈ 38,1 Н
Правый трос натянут сильнее — он круче, принимает на себя бо́льшую вертикальную нагрузку. Проверка: T₁·sin40° + T₂·sin60° = 24,9·0,643 + 38,1·0,866 = 16,0 + 33,0 = 49,0 Н = mg. Сходится. Обратите внимание: два уравнения — две неизвестные (T₁ и T₂). Если бы тросов было три — неизвестных стало бы три, а уравнений осталось два. Задача стала бы статически неопределимой — для решения нужна дополнительная информация (например, жёсткость тросов). Но на нашем уровне таких задач мы касаться не будем.
Ещё один пример — проще, но важный. Ящик массой 20 кг стоит на горизонтальном полу. К нему привязана верёвка, и вы тянете за неё вверх-вправо с силой 80 Н под углом 30° к горизонту. Ящик не двигается. Найдите нормальную реакцию пола и силу трения.
FBD: mg вниз, N вверх, F_тр влево, F под углом 30° к горизонту.
ΣFₓ = F·cos(30°) − F_тр = 0 → F_тр = 80·0,866 = 69,3 Н
ΣFᵧ = N + F·sin(30°) − mg = 0 → N = mg − F·sin(30°) = 196 − 40 = 156 Н
Заметьте: N = 156 Н, а mg = 196 Н. Нормальная реакция меньше силы тяжести — верёвка частично «разгружает» ящик, подтягивая его вверх. Это уменьшает трение (F_тр ≤ μN) и облегчает сдвиг. Вот почему тянуть за верёвку под углом эффективнее, чем толкать горизонтально!
Первое условие равновесия: ΣF = 0. В проекциях: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0. Покой — это не отсутствие сил, а их точный баланс.
Метод решения — тот же, что в динамике: FBD → оси → проекции → система уравнений. Только правая часть — ноль, а не ma.
Два уравнения (для плоской задачи) позволяют найти две неизвестные. Если неизвестных больше — задача статически неопределима.
Первое условие необходимо, но не достаточно: руль поворачивается при ΣF = 0. Для полного равновесия нужно ещё второе условие — про моменты сил.