В задаче из «Разведки боем» доставщик и заказчик назвали два разных числа для одной и той же поездки: 12 км и 3 км. На первый взгляд, кто-то из них ошибается — не может же одно и то же расстояние быть одновременно и 12, и 3 километра. Но на самом деле оба правы, потому что измеряли разные вещи: доставщик — суммарную длину маршрута, а заказчик — расстояние по прямой от ресторана до дома.

Такая путаница возникает постоянно. Навигатор показывает «до цели 2 км», а ехать нужно пять — потому что дорога идёт в объезд. Фитнес-браслет за прогулку насчитал 10 000 шагов, а от дома вы отошли всего на 800 метров. Оба прибора работают исправно — просто они измеряют разные величины. Чтобы различать эти величины и не путать одну с другой, в физике существуют три точных понятия.

Представьте, что к колесу велосипеда прикреплён маркер, оставляющий след на асфальте. Этот след и есть траектория. Её форма зависит от характера движения: автомобиль на прямом участке шоссе оставляет прямую, спутник на орбите описывает эллипс, мяч, брошенный под углом к горизонту, — параболу. Доставщик из нашей задачи двигался по ломаной, петляющей по городским улицам, — это и есть его траектория.

Важно помнить, что траектория, как и любая характеристика движения, зависит от системы отсчёта. Пассажир, идущий по вагону поезда, с точки зрения попутчика движется по прямой. Но для наблюдателя на платформе тот же человек смещается одновременно вперёд (вместе с вагоном) и вбок (по проходу), и его траектория оказывается наклонной линией. Причина та же, что и в предыдущем уроке: всё зависит от выбора тела отсчёта.

Зная траекторию, можно задать первый количественный вопрос: какова длина пройденного маршрута?

Путь — скалярная величина: у него есть числовое значение, но нет направления. Путь всегда неотрицателен и может только расти со временем: каждый пройденный метр прибавляется к общей сумме, даже если тело развернулось и пошло обратно. Если автомобиль проехал 5 км вперёд, а затем вернулся на 2 км назад, его путь равен 7 км, а не 3. Путь — это, по сути, показание одометра: он считает каждый метр, не обращая внимания на направление.

Путь доставщика — 12 км. Это суммарная длина его маршрута: каждый поворот, каждый объезд, каждый двор. Именно столько он крутил педали, и именно это зафиксировал трекер. Знание пути важно на практике: расход энергии, износ шин, время в дороге — всё это определяется длиной маршрута, а не расстоянием «по прямой». Путь отвечает на вопрос «сколько проехал?», но заказчик задавал другой вопрос: «как далеко это находится?» — и для ответа на него нужна другая величина.

Почему перемещение — вектор, а не просто число? Потому что для описания итога движения одного модуля недостаточно: нужно ещё знать, в какую сторону сместилось тело. Если два курьера проехали по 5 км — один на север, другой на восток, — их пути одинаковы, но оказались они в совершенно разных местах. Перемещения у них различаются, потому что имеют разные направления.

В отличие от пути, перемещение описывает не маршрут, а его итог: откуда тело вышло и куда пришло. Все повороты, объезды и петли, случившиеся между этими двумя точками, в перемещении не отражены — оно запоминает только начало и конец.

Вернёмся к нашему доставщику. Заказчик открыл карту и измерил расстояние от ресторана до своего дома по прямой — получилось 3 км. Это и есть модуль перемещения. Заказчик не ошибался — он просто измерил другую величину, сам того не зная. Спор между ними — не спор о фактах, а путаница между путём и перемещением: двумя разными способами описать одно и то же движение.

В координатах перемещение записывается просто. Если тело начало движение в точке с координатой x₁, а закончило в точке x₂, проекция перемещения на ось равна разности координат:

Δx = x₂ − x₁

Знак Δx показывает направление: положительное значение — перемещение в сторону оси, отрицательное — против. Например, автомобиль начал движение в точке x₁ = 100 м и закончил в точке x₂ = 350 м. Его перемещение: Δx = 350 − 100 = 250 м — автомобиль сместился на 250 метров в положительном направлении. Если бы он ехал в обратную сторону — из x₁ = 350 м в x₂ = 100 м — то Δx = 100 − 350 = −250 м: модуль тот же, но знак отрицательный.

Для движения на плоскости добавляется вторая составляющая, Δy = y₂ − y₁, а модуль перемещения вычисляется по теореме Пифагора:

|Δr| = √(Δx² + Δy²)

Проверим формулу на конкретных числах. Турист вышел из лагеря, прошёл 3 км на север, затем повернул и прошёл 4 км на восток.

Поместим начало координат в лагерь, ось x направим на восток, y — на север. После двух участков пути турист оказался в точке с координатами (4; 3).

Путь: складываем длины обоих участков — 3 + 4 = 7 км. Путь не зависит от того, в каком направлении шёл турист; каждый километр прибавляется к сумме.

Перемещение: вектор из точки (0; 0) в точку (4; 3). Его модуль:

|Δr| = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 км

Путь (7 км) оказался больше модуля перемещения (5 км). Так и должно быть: маршрут, проходящий через поворот, всегда длиннее, чем прямая от старта до финиша. Представьте, что турист натянул верёвку между лагерем и конечной точкой — длина этой верёвки и была бы модулем перемещения. А длина тропинки, по которой он шёл, — это путь.

Обратите внимание: если бы другой турист прошёл сначала 4 км на восток, а потом 3 км на север (в обратном порядке), путь был бы тот же (7 км), модуль перемещения — тот же (5 км), но траектория — другая. Путь и перемещение не зависят от порядка участков, а траектория — зависит.

Когда путь и модуль перемещения совпадают? Только в одном случае: тело движется по прямой, не меняя направления. Тогда маршрут и есть кратчайшее расстояние от старта до финиша — отклоняться некуда, и путь совпадает с модулем перемещения.

А когда они различаются сильнее всего? Когда тело возвращается в начальную точку. Бегун, пробежавший круг по стадиону: путь — 400 метров, перемещение — ноль. Спутник после полного оборота вокруг Земли: путь — около 40 000 км, перемещение — ноль. Тело двигалось, тело прошло огромное расстояние, но вернулось туда, откуда начало, — и вектор перемещения схлопнулся в точку.

Отсюда вытекает общее правило:

|Δr| ≤ s

Модуль перемещения никогда не превышает путь. Равенство возможно только при прямолинейном движении без смены направления. Во всех остальных случаях путь больше. Для нашего доставщика: 3 ≤ 12 — всё сходится.

Траектория — линия, которую описывает тело в пространстве. Зависит от системы отсчёта.

Путь (s) — длина пройденного участка траектории. Скалярная величина, всегда ≥ 0, может только расти. Это «показание одометра» — суммарная длина маршрута.

Перемещение (Δr) — вектор из начальной точки в конечную. В координатах: Δx = x₂ − x₁. Модуль: |Δr| = √(Δx² + Δy²).

|Δr| ≤ s. Равенство — только при прямолинейном движении без смены направления.