На длинной прямой трассе два автомобиля движутся в одну сторону. Первый находится на отметке 200 км и едет со скоростью 60 км/ч. Второй — на отметке 100 км, но движется быстрее: 80 км/ч.
Водитель второго уверен: «Я быстрее — через три часа точно буду впереди». Водитель первого спокоен: «Я далеко впереди, не догонишь».
Задача: Кто из них прав? Где окажется каждый автомобиль через 3 часа?
В задаче из «Разведки боем» интуиция подсказывала, что более быстрый автомобиль должен быть впереди, — но оказалось, что через три часа он всё ещё позади. Скорость — важная характеристика движения, однако она определяет лишь насколько быстро тело перемещается, а не где оно окажется в конкретный момент. Для ответа на вопрос «где?» нужно учитывать ещё и начальное положение. Именно для этого существует уравнение движения — инструмент, который мы разберём в этом уроке.
Но прежде чем переходить к уравнению, нужно договориться, что мы понимаем под равномерным движением и как описывать его скорость. Начнём с самого простого случая: тело движется по прямой, и его скорость не меняется. В реальной жизни такое встречается чаще, чем кажется: поезд на длинном прямом перегоне, самолёт на крейсерской высоте, катер, идущий по спокойной воде. Все они движутся не абсолютно равномерно — колебания скорости неизбежны, — но отклонения настолько малы, что ими можно пренебречь, точно так же, как в предыдущих уроках мы пренебрегали размерами тела, считая его материальной точкой. Автомобиль едет по прямому участку шоссе с включённым круиз-контролем. Спидометр показывает ровно 90 км/ч — не больше и не меньше. За каждый час автомобиль проезжает ровно 90 км, за каждую минуту — 1,5 км, за каждую секунду — 25 метров. Промежуток времени можно взять любой — результат всегда пропорционален: равные промежутки времени — одинаковые отрезки пути.
Главная характеристика такого движения — скорость, и определить её несложно: достаточно измерить, на какое расстояние сместилось тело за известный промежуток времени.
v = Δr / Δt
Скорость — векторная величина, и это принципиально. У неё есть не только модуль (число на спидометре), но и направление — куда именно движется тело. В задачах на движение вдоль одной оси направление кодируется знаком проекции: положительная — тело движется в сторону оси, отрицательная — против. Автомобиль, едущий на восток со скоростью 60 км/ч, и автомобиль, едущий на запад с тем же «числом на спидометре», через час окажутся в совершенно разных местах — именно потому, что их скорости как векторы противоположны. Спидометр показывает модуль скорости и не различает направления; для описания движения этого недостаточно.
Единица скорости в системе СИ — метр в секунду (м/с). В повседневной жизни чаще используют километры в час (км/ч). Связь между ними: 1 м/с = 3,6 км/ч. Чтобы перевести из км/ч в м/с, достаточно разделить на 3,6: например, 90 км/ч = 25 м/с. В обратную сторону — умножить: 25 м/с · 3,6 = 90 км/ч.
Зная скорость и начальное положение тела, можно вычислить, где оно окажется в любой момент времени. Для этого служит уравнение движения — центральный инструмент кинематики.
Логика за ним прозрачна. Если в момент t = 0 тело находится в точке с координатой x₀ и движется вдоль оси x со скоростью v, то за время t оно сместится на v · t — произведение скорости на время. Новая координата — это старая плюс это смещение:
x(t) = x₀ + v · t
Уравнение состоит из двух слагаемых, и каждое отвечает за свой «вклад» в положение тела. Первое — x₀ — говорит, откуда тело стартовало. Второе — v · t — говорит, как далеко оно успело уехать за время t. Именно поэтому знать одну лишь скорость недостаточно: быстрый автомобиль, стартовавший позади, может долгое время оставаться сзади — его преимущество в скорости накапливается постепенно, и ему нужно время, чтобы наверстать разницу в начальных положениях.
Знак проекции скорости определяет, в какую сторону от начальной точки смещается тело. Если v > 0, координата с каждой секундой растёт — тело удаляется в направлении оси. Если v < 0, координата убывает — тело движется против оси. Важно не путать знак скорости с понятием «быстро — медленно»: проекция −90 км/ч означает движение против оси с модулем 90 км/ч, а не «медленнее нуля».
Вернёмся к задаче из «Разведки боем». Два автомобиля на прямой трассе: первый на отметке 200 км со скоростью 60 км/ч, второй на отметке 100 км со скоростью 80 км/ч. Оба едут в одну сторону — в сторону увеличения километровых столбов. Направим ось x в ту же сторону.
Запишем уравнение движения для каждого:
x₁(t) = 200 + 60t
x₂(t) = 100 + 80t
Проверим, кто впереди через 3 часа:
x₁(3) = 200 + 60 · 3 = 380 км
x₂(3) = 100 + 80 · 3 = 340 км
Первый автомобиль по-прежнему впереди, хотя второй и быстрее. Интуиция подвела водителя второго автомобиля: он учёл скорость, но забыл про начальное положение. Уравнение движения учитывает и то, и другое — в этом его сила.
Теперь найдём, когда второй всё-таки догонит первого. Момент обгона — это когда координаты совпадают:
200 + 60t = 100 + 80t
100 = 20t
t = 5 ч
Через 5 часов, на отметке x₁(5) = 200 + 300 = 500 км. После этого второй автомобиль окажется впереди — и разрыв будет только расти, потому что его скорость больше.
Результат можно понять и без уравнений, задним числом. Разница скоростей — 20 км/ч, начальный разрыв — 100 км, значит, на его закрытие нужно 100 / 20 = 5 часов. Однако этот «метод разности скоростей» работает только для движения в одну сторону. Уравнение движения — более универсальный инструмент: оно справляется и со встречным движением, и с обгоном, и с ситуациями, когда тела стартуют в разное время. Покажем это на примере встречного движения. Из двух городов, расстояние между которыми 300 км, одновременно выезжают два автомобиля навстречу друг другу. Первый едет со скоростью 80 км/ч, второй — 70 км/ч. Поместим начало координат в первый город, ось x направим ко второму.
x₁(t) = 80t
x₂(t) = 300 − 70t
Обратите внимание на второе уравнение: второй автомобиль движется навстречу первому, то есть против нашей оси. Его проекция скорости отрицательна (−70 км/ч), поэтому координата с каждым часом уменьшается на 70 — автомобиль приближается к началу координат.
Момент встречи:
80t = 300 − 70t
150t = 300
t = 2 ч
Они встретятся через 2 часа, на расстоянии 80 · 2 = 160 км от первого города. Первый проехал больше, потому что ехал быстрее — за равное время он покрыл большее расстояние.
Логика решения одинакова для любого количества тел на прямой: записать уравнение движения каждого из них и приравнять координаты тех, чью встречу или обгон мы ищем. Уравнение x(t) = x₀ + v · t — полная математическая модель равномерного прямолинейного движения: зная начальное положение и скорость, мы можем вычислить координату тела в любой момент — прошлый, настоящий или будущий.
Равномерное прямолинейное движение — движение по прямой с постоянной скоростью. За любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения.
Скорость (v) — отношение перемещения ко времени: v = Δr / Δt. Векторная величина. Единица в СИ — м/с. Перевод: 1 м/с = 3,6 км/ч.
Уравнение движения: x(t) = x₀ + v · t. Позволяет найти координату тела в любой момент времени. Знак v определяет направление движения вдоль оси.
Задача на встречу / обгон: записать уравнения для обоих тел, приравнять координаты, решить уравнение.