Друг звонит и говорит: «нашёл крутое кафе — оно в 500 метрах от тебя». Вы выходите на улицу и идёте... куда? 500 метров — это число. Оно ничего не говорит о направлении. Идти на север? На юг? По диагонали?

Вот в чём проблема скаляра: он отвечает только на вопрос «сколько?». Температура 25°C, масса рюкзака 8 кг, время в пути 45 минут — просто числа, без указания куда. Этого часто достаточно. Но не всегда.

«500 метров на север» — другое дело. Теперь понятно куда идти. Число плюс направление — это уже вектор.

Физика буквально держится на этом различии. Скорость ветра 15 м/с — скаляр, это просто «насколько быстро». Скорость ветра 15 м/с на северо-запад — вектор, это «насколько быстро и куда». Сила, которая толкает тележку, — вектор: важно не только «сколько ньютонов», но и в каком направлении вы её толкаете. Перепутаете направление — тележка поедет не туда. Со стрелками всё понятно. Но как записать вектор на бумаге — не рисовать же стрелку каждый раз?

Нарисуйте крест: горизонтальная линия — ось X, вертикальная — ось Y. Теперь у каждой точки на плоскости есть адрес из двух чисел. Вы стоите в точке A = (1, 2) и идёте к точке B = (4, 6). Сколько сдвинулись по X? На три единицы вправо: 4 − 1 = 3. По Y? На четыре вверх: 6 − 2 = 4. Вектор вашего пути:

v = (3, 4)

Эти два числа называют компонентами вектора. Они говорят всё: «три шага вправо, четыре вверх». Никакой стрелки не нужно — компоненты заменяют её полностью.

В трёхмерном пространстве добавляется ось Z — глубина, и вектор становится тройкой чисел:

w = (2, −1, 3)

Минус перед единицей означает движение против оси Y — то есть «вниз» или «назад», смотря как ориентированы оси. Отрицательные компоненты — это нормально, это просто противоположное направление.

Посмотрите, как вектор (3, 4) выглядит на плоскости:

Пунктирные линии — это компоненты. Три вправо по X, четыре вверх по Y. Вместе они однозначно задают стрелку.

И вот важная вещь, которую легко пропустить: вектор — это не конкретная стрелка на конкретном месте. Та же стрелка из точки (2, 1) в точку (5, 5) — тот же вектор (3, 4). Длина и направление не изменились. Где рисовать — не важно. Такие векторы называют свободными, и это очень удобно: можно переставлять стрелку куда нужно, не меняя её сути. Два вектора в линейной алгебре настолько важны, что у них есть особые имена.

Нулевой вектор — это (0, 0). Длина ноль, направления нет — единственное исключение из правила «у вектора есть направление». Зачем он нужен? Это нейтральный элемент сложения: прибавить нулевой вектор к любому — ничего не изменится. Ровно как ноль в арифметике.

Единичный вектор — вектор с длиной ровно 1. Он нужен, когда важно только направление, а «насколько далеко» — неважно. Стандартные единичные векторы вдоль осей:

e₁ = (1, 0)   — единичный вектор оси X
e₂ = (0, 1)   — единичный вектор оси Y

А теперь посмотрите на это:

(3, 4) = 3·(1, 0) + 4·(0, 1) = 3·e₁ + 4·e₂

Любой вектор плоскости — это просто «три шага по e₁ и четыре по e₂». Компоненты вектора — это коэффициенты его разложения по e₁ и e₂. Именно поэтому e₁ и e₂ называют базисом: они — строительные кирпичи, из которых собирается всё остальное. К этой идее мы вернёмся — и она окажется куда глубже, чем выглядит сейчас.

Зачем всё это в реальной жизни?

Бросьте мяч — без вектора скорости вы знаете только «как быстро», но не «куда». Физика движения описывается векторными уравнениями: положение, скорость, ускорение, сила — всё векторы. Уберите направление — уравнения перестают работать.

Переместите шахматную фигуру на e2→e4: «две клетки вперёд» — это вектор (0, 2). Любое движение на плоскости описывается вектором сдвига. В компьютерной графике каждый кадр — тысячи сдвигов, поворотов и масштабирований, и все они записываются через векторы и матрицы.

Опишите квартиру числами: площадь 54 м², 2 комнаты, 7-й этаж, 12 минут до метро. Получился вектор (54, 2, 7, 12) в четырёхмерном пространстве признаков. Две похожие квартиры — это два близких вектора. Как именно измерить эту «близость» — разберём в уроке про скалярное произведение.