Представьте: вы плывёте на яхте. Ветер толкает вас на восток со скоростью 3 узла, и одновременно течение несёт на север со скоростью 4 узла. С какой скоростью и в каком направлении вы на самом деле движетесь?

Если просто сложить числа — получите 7 узлов. Но это неверно: ветер и течение действуют в разные стороны, и «7» ничего не говорит о направлении. Здесь нужно складывать не числа, а векторы.

Ветер: a = (3, 0). Течение: b = (0, 4). Складываем компоненты по отдельности:

a + b = (3 + 0, 0 + 4) = (3, 4)

Вы движетесь вектором (3, 4) — на северо-восток. Длина — 5 узлов (пифагорова тройка). Никакой семёрки — физика не обманешь.

Геометрически сложение выглядит так: кладём второй вектор хвостом к концу первого — и проводим стрелку от начала первого до конца второго. Это правило «конец в начало». Одновременно получается параллелограмм: сумма — это его диагональ.

Красный вектор a, зелёный b — хвост b приставлен к концу a. Синяя стрелка — их сумма. Пунктир образует параллелограмм: сумма одновременно является его диагональю. Оба способа — «конец в начало» и «диагональ параллелограмма» — дают один результат.

Порядок не важен: a + b = b + a. Нарисуйте параллелограмм с другой стороны — диагональ та же. Вычитание — это сложение с развёрнутым вектором. Развернуть вектор — сменить знак у всех компонент: −b смотрит в противоположную сторону.

a − b = a + (−b) = (a₁ − b₁, a₂ − b₂)

Геометрически a − b — это стрелка от конца b до конца a, если оба вектора отложены из одной точки. Хорошая подсказка: если a — «где хочу оказаться», а b — «где я сейчас», то a − b — мой путь к цели.

Пример с яхтой: хотел прийти в точку a = (5, 3), но течение унесло в b = (2, 1). Вектор коррекции курса:

a − b = (5 − 2, 3 − 1) = (3, 2)

Три единицы на восток и две на север — именно столько не хватает. Вычитание векторов — это «чего не хватает», «насколько промахнулись».

Третья операция — умножение вектора на число. Каждая компонента умножается на это число.

Стрелка остаётся на той же прямой — только меняется длина и, при отрицательном k, направление:

v = (2, 1)

2 · v  = (4, 2)    — вдвое длиннее, то же направление
½ · v  = (1, ½)    — вдвое короче, то же направление
−1 · v = (−2, −1)  — та же длина, противоположное направление
0 · v  = (0, 0)    — нулевой вектор

Физически — масштабирование силы. Удвоили усилие — вектор вырос вдвое. Приложили в обратную сторону — знак сменился. Соберём всё вместе. Возьмём несколько векторов, умножим каждый на своё число и сложим — это линейная комбинация:

Например, вектор (7, 5) через стандартный базис e₁ = (1,0), e₂ = (0,1):

7·(1, 0) + 5·(0, 1) = (7, 0) + (0, 5) = (7, 5)

Но можно взять другие «кирпичи». Например, a = (1, 1) и b = (1, −1):

6·(1, 1) + 1·(1, −1) = (6, 6) + (1, −1) = (7, 5) ✓

Один и тот же вектор — разные комбинации. Какой набор «кирпичей» выбрать — это вопрос про базис, и к нему мы придём в конце блока. Запомните слово «линейная комбинация» — оно встретится в каждом следующем уроке.